-
В сети завирусилась следующая геометрическая задачка.
Найти площадь фигуры, образованной пересечением двух дуг окружностей, расположенных внутри квадрата:
(https://alt.lingvopolitics.org/index.php?action=dlattach;topic=4942.0;attach=2115;image)
Со своей стороны замечу, что площадь маленького криволинейного треугольника с вертикальной правой стороной квадрата в качестве основания (то есть "хвоста" рыбки, "тело" которой надо найти в задаче) получается даже интереснее.
-
https://ru.wikipedia.org/wiki/Решение_треугольников#Решение_сферических_треугольников (http://)
Почитал, почувствовал себя тупым, закрыл. :(
-
Считается численным интегралом!
-
А если не?
-
По-быстрому прикинул
∫[0,3.2](sqrt(4-(x-2)^2)-(4-sqrt(16-x^2)))dx≈3.846973382103313
Что бы это могло значить и как оно решается без читерства -- надо дальше думать.
-
Вот ещё одно решение:
https://diego.assencio.com/?index=8d6ca3d82151bad815f78addf9b5c1c6
В нашем случае r1=4, r2=2 и d=sqrt(42+22)=2*sqrt(5)
-
Есть вот такая картинка, немного подсказывающая, как решить через площадь секторов:
(https://alt.lingvopolitics.org/index.php?action=dlattach;topic=4942.0;attach=2117;image)
-
Вот ещё одно решение:
https://diego.assencio.com/?index=8d6ca3d82151bad815f78addf9b5c1c6
В нашем случае r1=4, r2=2 и d=sqrt(42+22)=2*sqrt(5)
По новой формуле результат получается похожий, но наверное более точный, чем через тупой расчёт интеграла (хз каким алгоритмом мобильное приложение считало)
from math import asin, acos
a = 4
b = 2
d = 20**0.5
d1=(a**2-b**2+d**2)/(2*d)
d2=d-d1
print(a**2*acos(d1/a)-d1*(a**2-d1**2)**0.5+b**2*acos(d2/b)-d2*(b**2-d2**2)**0.5)
Выводит 3.8469566151892582
Есть вот такая картинка, немного подсказывающая, как решить через площадь секторов:
Хмм, пока так и не догнал...
-
В принципе, если сложить площади секторов, получится площадь четырёхугольника плюс искомая (потому что она два раза сплюсуется). Четырёхугольник из двух одинаковых прямоугольных треугольников составлен, это просто. А сектора - углы надо знать. В принципе, их из треугольника можно найти, катеты 4 и 2.
-
Неужели числа пи нет в ответе?
-
Дошло: (сектор AES-(треугольник BAE-секторABr))*2. Угол ABE у нас arctg 1/2
= 30* = pi/6
-
А вот и нифига. При 30° гипотенуза в 2 раза больше меньшего катета, а не второй катет.
-
Да, уже понял. Перепутал арктангенс с арксинусом. Получается где-то 26.57°
-
Вот так точнее:
(https://alt.lingvopolitics.org/index.php?action=dlattach;topic=4942.0;attach=2119;image)
-
ОК, ещё немного упростили формулу:
>>> ((pi/2-atan(1/2))*2**2/2-(4-atan(1/2)*4**2/2))*2
3.846956615189259
UPD: если пораскрывать скобки, то получим:
>>> pi*2+atan(0.5)*12-8
3.84695661518926
-
Вы когда успели pi из math экспортировать⁈ ::)
-
Я ж не все эксперименты сюда выкладывал. Вот есть ещё вариант без "пи", с одними арктангенсами, чтобы меньше импортировать:
>>> 4*(atan(2)+atan(0.5)*4-2)
3.84695661518926
-
Красиво:
(http://puu.sh/JX46y.png)
-
А теперь по поводу криволинейного треугольника
>>> from math import pi, atan
>>> 4**2-4**2*pi/4-2**2*pi/2+pi*2+atan(0.5)*12-8
0.9974006936505013
>>> 16-4**2*pi/4-2**2*pi/2+pi*2+atan(0.5)*12-8
0.9974006936505013
>>> 8-16*pi/4-4*pi/2+pi*2+atan(0.5)*12
0.9974006936505004
>>> 8-4*pi-2*pi+pi*2+atan(0.5)*12
0.9974006936505004
>>> 8-4*pi-2*pi+pi*2+atan(0.5)*12
0.9974006936505004
>>> 8-4*pi+atan(0.5)*12
0.9974006936505004
-
И площадь всей рыбки получается
(https://alt.lingvopolitics.org/index.php?action=dlattach;topic=4942.0;attach=1967;image)
-
у воєнний час значення сінуса може досягати і 4
просто це секретні данні і вчених не повідомили