Имхо "интегральное исчисление" - выражение если не устаревшее, то несколько нубское по смыслу, типа "высшей математики". Исчисление - это некая совокупность правил, по которым можно считать. И "интегральное исчисление" по большому счёту сводится к правилам нахождения первообразных и формуле Ньютона-Лейбница, которая позволяет вычислить определённый интеграл через первообразную. Таким образом, "интегральное исчисление" мало относится к интегрированию, поскольку первообразная - это про дифференцирование, а не про интегрирование. Этой ерундой мучат первокурсников, а потом они её не вспоминают, если им самим не приходится когда-нибудь мучить следующих первокурсников.
Важный вопрос - это что такое интеграл. Интеграл - одно из основных понятий анализа (analysis). И почувствовать его довольно непросто. По своему смыслу интеграл собирает в единое число числовые значения, "размазанные" по какой-нибудь области. Интеграл - понятие вездесущее, поэтому трудно придумать одну картинку, которая работала бы всегда. Но вот неплохой пример. Можно представить область в пространстве, заполненную веществом переменной плотности. Тогда масса объекта - это интеграл от плотности по области, заполненной веществом. Плотность в отдельной точке не оказывает влияния на интеграл, потому что одна точка - слишком мало. Дают вклад только какие-то куски пространства. Например, если в каком-то куске пространства объёма 2 м^3 плотность будет 3 кг/м^3, то этот кусок даст массу 6 кг.
В примере с плотностью вклад значения в одной точке нулевой, потому что каждая точка имеет "вес" 0. (Здесь "вес" понимается не в смысле гравитации, а в смысле важности.) Однако можно дать каждой точке вес 1. Тогда интегрируемы функции, заданные (или отличные от нуля) на конечных множествах точек, а интеграл совпадает с конечной суммой. То есть сумма - частный случай интеграла.
Можно дать простое и интуитивное определение интеграла для функций с конечным числом значений. Пусть функция f задана где-то на A и принимает конечное число значений: f_1 на куске A_1, f_2 на куске A_2, ..., f_n на куске A_n. Предположим, что каждое A_k имеет меру (площадь, длину или что-нибудь такое) m_k. Тогда интеграл от f определяется как сумма произведений f_k m_k. Мера куска определяет "вес", с которым значение функции входит в интеграл.
Это определение можно расширить очень на широкие классы функций с помощью предельных переходов. Интегрируемая функция аппроксимируется ступенчатой.
Важное примерение интеграла в рамках самой математики - они позволяют вводить норму (аналог длины) и скалярное произведение (некий аналог угла) в пространствах функций и, таким образом, наводить в них геометрию и топологию. Эти нормы и скалярные произведения аналогичны нормам и произведениям в конечномерных пространствах, которые сводятся к конечным суммам.
