В отличие от Башкирии, которая в советское время таки да, была именно Башкирия (и это название и сейчас продолжает бытовать, и не считается чем-то диким или плохим - вот, кстати, не далее как сегодня вечером приобрёл пива, на упаковке которого имеется это слово), и только в постсоветский период "возник" этот Башкортостан, большинством, по мнению родителей (и уж во всяком случае ими самими) так и не принятое.
По моим наблюдениям, в бытовой речи Башкортостан отсутствует или почти отсутствует, есть только Башкирия. Кстати, в этом смысле возникают-таки сомнения, что в советские времена была массово распространена в употреблении Татария. Потому что тогда возникает вопрос: если она была и сменилась на Татарстан, то почему этого не произошло с Башкирией? Правда, возможно, это связано с тем, что для русского произносить "Татарстан" несложно, в отличие от "Башкортостан", а первичен здесь, конечно, устный элемент.