Пустая корзина

[Bhudh]

Тогда такого вещественного числа у нас нет.

[Владимир]

Тогда такого вещественного числа у нас нет.

Я тоже так подумал, поэтому написал выше про ноль, но потом посмотрел «Краткий курс» Кудрявцева, там он пишет, что любое число является как верхней, так и нижней гранью пустого множества.

[Квас]

Да, всё так (только любое число является границей). Это легко вывести из определения. Число m называется верхней границей множества A, если для любого a из A выполнено a <= x. Это, очевидно, выполняется для пустого множества при любом выборе a, потому что пустое множество удовлетворяет любому утверждению с квантором "для любого". "Для любого" не предполагает существование. Противным утверждением является "существует элемент, для которого не выполнено", и это противное утверждение сразу оказывается ложным для пустого множества, потому что в нём-то элемент существовать не может.

 А точной границей, или гранью, никакое вещественное число не будет. Если к вещественной прямой добавить +∞ и -∞, то sup ∅ = -∞, inf ∅ = +∞.

Видимо, пример про яблоки призван проиллюстрировать как раз то обстоятельство, что "для любого" не подразумевает "существует".

Но в математике определения не живут своей жизнью, человек их контролирует. Если в какой-то ситуации рассмотрение пустого множества является неудобным и несодержательным особым случаем, его естественно исключить, сразу оговорив, что рассматриваемые множества являются непустыми. В лингвистике тем более не может быть никакого императива, обязующего трактовать термины в приложении к молчанию. Это же бессмыслица, как ангелы на кончике иглы.

[Bhudh]

Допустим, множество A : «все чётные простые числа > 2».
Чему равен inf A? Чему равен sup A в ℕ?

[Agnius]

 Ответ дал Квас От себя добавлю, что нижняя и верхняя грань пустого множества ограничена всеобъемлющим множеством (например у нас только отрезок, тогда инфимум пустого множества чисел этого отрезка будет равен максимальному концу). Тогда например минимальную ИК можно ограничить восприятием человека (или условно оставить бесконечной)

Допустим, множество A : «все чётные простые числа > 2».
Чему равен inf A? Чему равен sup A в ℕ?

Супремум равен минимальному натуральному числу (1 или 0 по вкусу). А инфимум равен +бесконечности (в расширенной действительной прямой). Инфимум и супремум часто не содержатся в ассоциированных с ними множествах

[Владимир]

Ответ дал Квас

Кто бы сомневался 
Только при чём тут красные яблоки в пустой корзине?

[2Easy]

Ну и каков тогда ваш ответ с такой позиции?

Я знаю ответ, но в данном случае, наверно, важнее путь к этому ответу. Хотите - можем вместе попробовать и рассмотрим верхнюю грань (нижняя рассматривается аналогично и пусть останется в качестве упражнения). Начинать надо с определения. Мне написать определение верхней грани множества чисел?

Ой, какие мы загадочные! Костыль inf∅=+∞, sup∅=−∞ применим если рассматривать абстрактные числа, сферические в вакууме, но речь о конкретных яблоках, а не о чем-то абстрактном.

[2Easy]

Точно так же, как есть соглашение, чтобы правила работы с непустыми множествами не буксовали на пустых, есть соглашения по цветам. Например в палитре RGB красный цвет имеет интенсивность от 0 до 256. Это вовсе не минус бесконечность и плюс бесконечность. Какова минимальная и максимальная интенсивность RGB-цвета для красных яблок в пустой корзине, причем не красных яблок вообще, а именно в пустой корзине? Ежу понятно что этот вопрос адекватен только к группе существующих красных яблок.

[Agnius]

Кто бы сомневался 
Только при чём тут красные яблоки в пустой корзине?

Т.е. вы не читали ответа Квас 

[Agnius]

Ой, какие мы загадочные! Костыль inf∅=+∞, sup∅=−∞ применим если рассматривать абстрактные числа, сферические в вакууме, но речь о конкретных яблоках, а не о чем-то абстрактном.

1. Это не костыль, а прямое следствие определения. Вам тоже почитать Павлова страх и единицей 
2. Абстрактные числа описывают конкретные объекты

[Agnius]

Точно так же, как есть соглашение, чтобы правила работы с непустыми множествами не буксовали на пустых

Это не совсем соглашение, а естественное следствие. Искусственным соглашением является как раз различение пустых и непустых множеств по этому признаку, что только усложняет жизнь.

Например в палитре RGB красный цвет имеет интенсивность от 0 до 256. Это вовсе не минус бесконечность и плюс бесконечность

.
Т.е. вы меня тоже не читали 

Какова минимальная и максимальная интенсивность RGB-цвета для красных яблок в пустой корзине, причем не красных яблок вообще, а именно в пустой корзине? Ежу понятно что этот вопрос адекватен только к группе существующих красных яблок.

Очевидно, что максимальная будет 0, а минимальная 256